Question

已知数列{an}中的相邻两项a2k-1、a2k是关于x的方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k-1

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）首先因式分解求得方程的两根，由条件a_2k-1≤a_2k写出当k=1，2，3，4时相邻两项，

（Ⅱ）n取值进行计算，即可猜想a_2n与（2n）²的大小关系．

（Ⅰ）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根为x1＝3k，x2＝2k．

当k=1时，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；当k=2时，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；

当k=3时，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8；当k=4时，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12；

因为n≥4时，2ⁿ＞3n，所以a2n＝2n(n≥4)…（6分）

（Ⅱ）当n=4时，a2n＝24＝16 ＜ 82 ＝(2n)2；

当n=5时，a2n＝25＝32 ＜ 102 ＝(2n)2；

当n=6时，a2n＝26＝64 ＜ 122 ＝(2n)2；

当n=7时，a2n＝27＝128 ＜ 142 ＝(2n)2；

当n=8时，a2n＝28＝256 ＝ 162 ＝(2n)2；

当n=9时，a2n＝29＝512 ＜ 182 ＝(2n)2；

所以猜想：当4≤n＜7时，a2n＜(2n)2；

当n=8时，a2n＝(2n)2；

当n≥9时，a2n＞(2n)2；…（12分）

点评：

本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．对于此类问题要认真审题、冷静解析，加上扎实的基本功就可以解决问题．