Question

如何求解矩阵的幂?大型 复杂矩阵如何求解他的n次幂?

Answer 1

1.如果c是A的特征值,则存在非零向量X使AX = cX.

于是(A^k)X = c^k·X,即得c^k是A^k的特征值.

实际上,如果A的特征值为c1,c2,...,cn (包括重根),

f(x)是任意多项式,可以证明f(A)的特征值为f(c1),f(c2),...,f(cn) (包括重根).

因为A相似于上三角阵,而对上三角阵容易验证上述结论成立.

2.这里的矩阵范数是指||A|| = sup{||AX||/||X|| | X ≠ 0}?

从定义不难证明||AB|| ≤ ||A||·||B||,归纳即得||A^k|| ≤ ||A||^k.

需要指出的是||A||不一定等于A的最大特征值的模.

例如A = [1,1;0,1]的矩阵范数是√5+1)/2 > 1,在X = ((√5-1)/2,1)'时取得(这里X取欧式范数).