Question

已知函数f（x）=2x，x∈R．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）所给的方程即 （2^x）²-2•2^x-8=0，可得2^x=4或2^x=-2（舍去），从而求得x的值．

（Ⅱ）由于 g（x）=2^x+a•4^x，x∈[0，1]，令t=2^x，则t∈[1，2]，分①当a=0和②当a≠0两种情况，

分别利用二次函数的性质，求得M（a）的解析式，综合可得结论．

（Ⅰ）所给的方程即 （2^x）²-2•2^x-8=0，可得2^x=4或2^x=-2（舍去），

所以x=2．

（Ⅱ）由于 g（x）=2^x+a•4^x，x∈[0，1]，令t=2^x，则t∈[1，2]，

①当a=0时，M（a）=2；

②当a≠0时，令 h(t)＝at2+t＝a(t+

1

2a)2−

1

4a，

若a＞0，则M（a）=h（2）=4a+2，

若a＜0，当0＜−

1

2a＜1，即a＜−

1

2时，M（a）=h（1）=a+1，

当−

1

2a＞2，即−

1

4＜a＜0时，M（a）=h（2）=4a+2，

当1≤−

1

2a≤2，即−

1

2≤a≤−

1

4时，M(a)＝h(−

1

2a)＝−

1

4a，

综上，M(a)＝

4a+2，a＞−

1

4

a+1，a＜−

1

2

−

1

4a，−

1

2≤a≤−

1

4．

（Ⅲ）由题意知：

2x1+2x2＝

点评：

本题考点： 指数函数综合题．

考点点评： 本题主要考查指数函数的性质综合应用，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．