Question

函数f(x)=ax^3 bx^2 cx d(a≠0)的图像一定有对称中心吗?请说明理由

Answer 1

一定有,这个学到人教版选修2-2(理)或1-1(文)就有导数的内容,三次函数二阶导得零的点就是它的对称中心,其横坐标为x=-b/3a.

如果用配方的做法可以得到

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=a(x+b/3a)^3+x*(3ac-b^2)/3a+(27a^2d-b^3)/27a^2,

令t=x+b/3a,则得at^3+t*(3ac-b^2)/3a+(2b^3-9abc)/27a^2+d……(#),

为at^3+pt+q的形式,对称性与常数项无关,

函数y=at^3和y=pt均为奇函数,关于原点对称,对称中心是(0,0);

故令t=x+b/3a=0,得对称中心横坐标x=-b/3a,由(#)式易得当t=0时y=(2b^3-9abc)/27a^2+d.

所以,函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d必有对称中心为(-b/3a,(2b^3-9abc)/27a^2+d).