1、A^2-A-1=0
A^2=A+1
A^4=(A+1)^2=A^2+2A+1=3A+2
A^8=(3A+2)^2=9A^2+12A+4=9A+9+12A+4=21A+13
A^(-4)=1/(3A+2)
所以,A^8+7A^(-4)=(21A+13)+7/(3A+2)
=[(21A+13)(3A+2)+7]/(3A+2)
=(63A^2+81A+34)/(3A+2)
=(144A+96)/(3A+2)
=48
2、10^A=20,10^B=1/5
两式相除,10^A/10^B=100
即10^(A-B)=100
A-B=2
所以,9^A/3^(2B)=9^A/9^B=9^(A-B)=9^2=81
3、A^2+2B^2+3AB=(A+B)(A+2B)=(1999+1)(1999+2)=2000*2001=4002000
4、n-45是完全平方数设=a^2,n+44也是完全平方数设=b^2
b^2-a^2=(n+44)-(n-45)=89
(b-a)(b+a)=89=1×89
所以,b-a=1,b+a=89
b=45,a=44
n=44^2+45=1981
5、1999×2000×2001×2002+1
=1999×(1999+3)×(1999+1)(1999+2)+1
=(1999^2+1999×3)×(1999^2+1999×3+2)+1
=(1999^2+1999×3)^2+2×(1999^2+1999×3)+1
=(1999^2+1999×3+1)^2
是一个整数的平方,这个整数=1999^2+1999×3+1=4001999
6、设这两个整数分别为a,b,
K=a^2-b^2=(a+b)(a-b)
由于a,b为整数,所以(a+b)与(a-b)的奇偶性必须相同,即同为奇或同为偶.且二者为一大一小,根据以上分析,得
（1）所有的奇数除1之外,都符合要求,因为奇数总可以表示为其本身与1的乘积,同为奇,且一大一小,符合以上条件,在1至98中,奇数有98/2=49个,符合条件的有49-1=48个；
（2）对于偶数K,它必须能分解成两个偶数的乘积,才有可能表示成两个整数的平方差的形式.即(a+b)与(a-b)都是偶数,所以K必定是4的倍数,在1至98当中4的倍数有98/4=24余2,即有24个,但是4只能分解为2X2的形式,此时(a+b)与(a-b）相等,不符合要求,所以符合要求的偶数个数有23个.
综上,能够表示成两个整数的平方差的个数是48+23=71个
7、56a+392b=56(a+7b)=n^2
56(a+7b)=2^3*7(a+7b)=2^2*[2*7*(a+7b)]
所以2*7*(a+7b)是完全平方数
而且当a+7b=14是最小
a,b是正整数
只有b=1,a=7一组解
所以a+b最小=8