Question

已知三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+c2-b2=1/2ac,若b=2,求三角形ABC最大值

Answer 1

∵a²+c²-b²=(1/2)*ac

又余弦定理,有

cosB=(a²+c²-b²)/2ac

∴ (1/2)*ac=2ac*cosB

则 cosB=1/4

故 sinB=√15/4

∵a²+c²-b²=(1/2)*ac

∴a²+c²=(1/2)*ac+b²

而 a²+c²≥2ac

(当且仅当a=c时,取得“＝”)

∴(1/2)*ac+b²≥2ac

∴ ac≤(2/3)*b²=(2/3)×2²=8/3

△ABC的面积

S=(1/2)*ac*sinB≤(1/2)×(8/3)×(√15/4)=√15/3

因此,当且仅当a=c时,△ABC的面积有最大值,最大值为√15/3