Question

如图,圆O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交与点M 设BE,ME的长是关于x 的一元二次方程

Answer 1

设BE=x1,ME=x2,

根据韦达定理,

x1+x2=2√5,(1)

x1x2=k,(2)

AB弧对应圆心角为360°/5=72°,

∴〈BEA=36°,

同理〈BAE=〈EBA=36°,

〈AME=180°-36°-36°=108°,

〈BMA=72°,

〈MAB=72°,

∴AB=BM,

∴△AME∽△EAB,

∴ME/AE=AE/BE,

AE^2=BE*ME,

AB=AM=BE-ME,

∴（BE-ME）^2=BE*ME,

(x1-x2)^2=x1*x2,

(x1+x2)^2-4x1x2=x1x2,

(x1+x2)^2=5x1x2,(3)

由（1）（2）式代入（3）式,

（2√5)^2=5*k,

∴k=4,

∵AE^2=BE*ME=x1*x2=k,

∴AE=√k=2,

∴正五边形ABCDE的边长为2.