最大公约数与最小公倍数小升初奥数专题解析:最大公约数与最小公倍数 1.填空   (1)在1500至8000之间能同时被1

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  • (1)在1500至8000之间能同时被12,18,24,42四个数整除的自然数共有(13 )个.

    先求出12182442四个数的最小公倍数为504,那么在1500-8000之间能同时被12182442四个数整除的自然数必然为504的倍数,则可设符合条件的数字为504×N(N为整数),于是有:1500<504×N<8000;解此不等式得:2.98<N<15.87,所以N可取的值有:3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15,共计13个.

    (2)有一整数,除300,262,205得到的余数相同,这个整数是(19 ).

    根据同余定理,这个数一定是38,57,95这3个数的公约数

    (3)某数用3除余2,用7除余4,用11除余1,满足这些条件的最小自然数是(221 ).

    中国剩余定理(或者叫孙子点兵)问题

    1)找到能被3,7整除,且除以11余1的最小数,为:

    3×7×10=210

    2)找到能被3,11整除,且除以7余4的最小数,为:

    3×11×5=165

    3)找到能被7,11整除,且除以3余2的最小数,为:

    7×11=77

    4)把找到的三个最小数求和,为:

    210+165+77=452

    5)求出3,7,11的最小公倍数,为:

    3×7×11=231

    6)把求出的和与最小公倍数比较,如果和大于最小公倍数,就减去最小公倍数

    可以重复进行,直到结果小于最小公倍数

    452-231=221<231

    221就是满足要求的最小数,所以=221

    (4)某数去除74、109和165,所得的余数相同,139与5612的积除以这个数余(2 ).

    根据同余定理,这个数一定是35,56,91的公约数,所以这个数是7,139除以7余6,5612除以7余5,所以 139与5612的积除以这个数7余5x6=30. 除以7余2

    (5)有一个数除以3余2,除以4余1,这个数除以12余(5 ).

    这个太简单了,你自己看吧

    (6)乙数除甲数商3余8,若甲数扩大5倍,商正好是19,甲数是(38 ),乙数是(10 ).

    甲数是x,乙数是y

    x=3y+8

    5x=19y

    解方程组得:

    x=38

    y=10

    甲数是38,乙数是10

    (7)一个三位数被37除余17,被36除余3,这个三位数是(831 ).

    37×a+17=36×b+3

    37a+14=36b

    尝试且a为偶数

    所已a=22时,b=23

    所以这三位数为831

    (8)十个自然数之和等于1001,这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是(91 ).

    1001=7×11×13=91×11

    这十个自然数的最大公约数的最大值是91.

    (9)把 l,2,3,4,5,6,7,8,9九个数依不同的次序排列,可以得到362880个不同的九位数,所有这些九位数的最大公约数是(9 ).

    1+2+…+9=45,根据被9整除特征判断,因而9是这些数的公约数.

    (10)已知三个连续自然数的最小公倍数是360,这三个数是(8,9,10 ).

    设3个连续自然数为 n-1 n, n+1

    因为3个连续自然数的最小公倍数为360

    当第一个数n-1为奇数时

    (n-1)*n*(n+1)=360

    n^3-n=360

    n没整数解

    当n-1为偶数时

    因为n-1和n+1都是偶数最小公倍数约去了个2

    所以最小公倍数为360×2=720

    所以(n-1)*n*(n+1)=360*2

    n^3-n=720

    n=9

    所以连续3个自然数为 8,9,10.

    (11)三个互不相同的自然数之和为370,它们的最小公倍数最小能够是(222 ).

    设3个数从小到大分别为AX,BX,CX,其中X是他们的最大公因数.

    有AX+BX+CX=370

    (A+B+C)*X=370

    因A181,可以得到a+b+c+d