Question

如何证明A行列式的逆等于A逆的行列式

Answer 1

证明|A|^(-1)=|A^(-1)|,有3个已知：

①A^(-1)=[1/|A|]A* (其中A*是A的伴随矩阵)

②AA*=A*A=|A|E

③对任意2个矩阵B,C,有|BC|=|B||C|

证明|A|^(-1)=|A^(-1)|：

对②取行列式,并用③,得|A||A*|=||A|E|=|A|^n,

从而,|A*|=|A|^(n-1),

再对①取行列式,得右边|A^(-1)|=|[1/|A|]A*|=[1/|A|^n]|A*|=1/|A|=左边.