Question

泛函分析求证赋范线性空间X中弱极限是唯一的,即若x和y都是数列{xn}的弱极限,求证：x=y

Answer 1

假设x不等于y.

hahn-banach定理告诉我们,赋范线性空间中有足够多的连续线性泛函能够区分不同的点.然而根据弱极限的定义,X上任意的连续线性泛函f, 都有f(x)=f(y). 矛盾了.

具体的说：

令z=x-y,则z不等于0.

由hahn-banach定理, 存在f属于X*使得

f(z)=||z|| 且 ||f||=1

所以f(z)不等于0.

然而, 根据弱极限的定义,对X上的任意连续线性泛函f, 都有f(x)=f(y). 即f(z)=f(x-y)=0（由f的线性性质）, 矛盾.