解题思路：（1）若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立a、b、c的关系，则能证明．
（2）设f（x）=x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca，由二次函数性质可证．
（3）由根与系数关系可得a、b、c的关系，进而解得a、b、c的值．
（1）由方程有实根得，△=（a+b+c）2-4（ab+bc+ca）≥0
即0≤a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca=a（a-b-c）-b（a+c-b）-c（a+b-c）＜a（a-b-c），由a＞0，得a-b-c＞0，
即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）
（2）设f（x）=x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）=bc＞0，f（a）=bc＞0，
且f（[a+b+c/2]）=＜0由（1）知b+c＜[a+b+c/2]＜a，
所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a＞x0＞b+c．（7分）
（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，
得a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=225-108=117＜112．由（2）知a＞9，
故得92＜a2＜112，∴a=10．∴b+c=5，bc=4，由b＞c，解得b=4，c=1，
∴a=10，b=4，c=1．（10分）
点评：
本题考点： 根与系数的关系；根的判别式；三角形三边关系．
考点点评： 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度较大的题目．