1.证明：因为向量OC=1/2(向量a+向量b),向量OA=向量a,向量OB=向量b
所以2向量OC=向量OA+向量OB
则向量OC-OB=向量OA-向量OC
即向量BC=向量CA
所以向量BC与向量CA共线
又向量BC与向量CA有公共点C
所以A、B、C三点共线
因为模 |向量BC|=|向量CA|
所以点C为线段AB的中点
命题得证.
2.由题意可得：向量OP=(1,2),向量OQ=(2cosa,2sina)
则向量PQ=OQ-OP=(2cosa-1,2sina-2)
所以|向量PQ|＝√[(2cosa-1)²+(2sina-2)²]
=√[(4cos²a-4cosa+1)+(4sin²a-8sina+4)]
=√[9-4(cosa+2sina)]
令r²=1²+2²=5,即r=√5,则可构造任意角θ的三角函数：
sinθ＝2/r＝2/√5,cosθ=1/√5
则|向量PQ|=√[9-4√5(cosθcosa+sinθsina)]
=√[9-4√5cos(θ-a)]
因为－1≤cos(θ-a)≤1,所以－4√5≤－4√5cos(θ-a)≤4√5
则9－4√5≤9-4√5cos(θ-a)≤9+4√5
即(√5-2)²≤9-4√5cos(θ-a)≤(2+√5)²
所以√5－2≤|向量PQ|≤2+√5