Question

求证：凸n边形对角线的条数f(n)=n(n-3)/2(n>=3)(用数学归纳法证明）

Answer 1

证明：

当n=3时,三角形对角线条数为0,f(3)=0成立

设n=k时,f(k)=k(k-3)/2成立

当n=k+1时,凸(k+1)边形等于一个凸k边形和一个三角形,其对角线为原凸k边形对角线加上(k-1)个顶点与新增的顶点的连线,即

f(k+1)=f(k)+(k-1)=k(k-3)/2+(k-1)=(k^2-3k+2k-2)/2=(k+1)(k-2)/2

所以凸n边形对角线的条数f(n)=n(n-3)/2(n>=3)