Question

设过抛物线y²=2px（p>0)的焦点且倾斜角为π/4的直线交抛物线于A、B两点,若弦AB的中点垂线恰好过点Q

Answer 1

焦点为(p/2,0) tan(π/4)=1

直线方程为 y=x-p/2

与抛物线方程 y²=2px联立

(x-p/2)^2=2px

x^2-3px+(p^2)/4=0

x1+x2=3p (x1+x2)/2=3p/2

AB中点为 (3p/2,y)

代入 y=x-p/2 y=p

AB中点为 (3p/2,p)

垂线的斜率为-1

中垂线方程为 y-p=-1(x-3p/2) x+y=5p/2

过（5,0）,5+0=5p/2 p=2

方程为 y^2=4x