已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使[as

1个回答

  • 解题思路:由“

    a

    sin∠P

    F

    1

    F

    2

    c

    sin∠P

    F

    1

    F

    2

    ”的结构特征,联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得:

    P

    F

    2

    sin∠P

    F

    1

    F

    2

    P

    F

    1

    sin∠P

    F

    2

    F

    1

    两者结合起来,可得到

    a

    P

    F

    2

    c

    P

    F

    1

    ,再由焦点半径公式,代入可得到:a(a+ex0)=c(a-ex0)解出x0,由椭圆的范围,建立关于离心率的不等式求解.要注意椭圆离心率的范围.

    在△PF1F2中,由正弦定理得:

    PF2

    sin∠PF1F2=

    PF1

    sin∠PF2F1

    则由已知得:

    a

    PF2=

    c

    PF1,

    即:aPF1=cPF2

    设点P(x0,y0)由焦点半径公式,

    得:PF1=a+ex0,PF2=a-ex0

    则a(a+ex0)=c(a-ex0

    解得:x0=

    a(c-a)

    e(c+a)=

    a(e-1)

    e(e+1)

    由椭圆的几何性质知:x0>-a则

    a(e-1)

    e(e+1)>-a,

    整理得e2+2e-1>0,解得:e<-

    2-1或e>

    2-1,又e∈(0,1),

    故椭圆的离心率:e∈(

    2-1,1),

    故选D.

    点评:

    本题考点: 正弦定理;椭圆的简单性质.

    考点点评: 本题主要考查椭圆的定义,性质及焦点三角形的应用,特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点,多数是用a,b,c转化,用椭圆的范围来求解离心率的范围.