如图,在体积为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,P为线段AB上的动

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  • 解题思路:(1)由已知中侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,结合直三棱锥的性质及正方形的性质,可得AP⊥CA1,CA1⊥AC1,由线面垂直的判定定理可得CA1⊥平面AC1P,再由线面垂直的性质,可得CA1⊥C1P

    (2)由已知中三棱柱ABC-A1B1C1体积为1,可得AB=2,以AA1,A1B1,A1C1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,分别求出平面AB1C1的法向量和直线CA1的方向向量,代入向量夹角公式,即可得到CA1与平面AB1C1所成的角的正弦值.

    证明:(1)∵侧棱AA1⊥底面ABC

    AA1⊥AB,又AC⊥AB,

    ∴AB⊥平面AA1C1C,即AP⊥平面AA1C1C,

    ∴AP⊥CA1,又AC=AA1=1,所以四边形AA1C1C是正方形,

    ∴CA1⊥AC1,从而CA1⊥平面AC1P,

    又C1P⊂平面AC1P

    ∴CA1⊥C1P

    (2)因为三棱柱ABC-A1B1C1体积为1,即V=S△ABC×AA1=[1/2]AB×1×1=1,

    ∴AB=2、

    以AA1,A1B1,A1C1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由题设条件得

    A(1,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,1),C(1,0,1),

    C1A=(1,0,-1),

    B1A=(1,-2,0),设平面AB1C1的法向量

    n=(x,y,z),则

    x−z=0

    x−2y=0,

    令x=1,则平面AB1C1的法向量

    n=(1,[1/2],1),又

    C

    点评:

    本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质.

    考点点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定与性质,其中(1)的关键是熟练掌握空间直线与直线,直线与平面垂直的相互转化,(2)的关键是建立坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,将线面夹角问题转化为空间向量夹角问题.