解题思路:(1)由已知中侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,结合直三棱锥的性质及正方形的性质,可得AP⊥CA1,CA1⊥AC1,由线面垂直的判定定理可得CA1⊥平面AC1P,再由线面垂直的性质,可得CA1⊥C1P
(2)由已知中三棱柱ABC-A1B1C1体积为1,可得AB=2,以AA1,A1B1,A1C1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,分别求出平面AB1C1的法向量和直线CA1的方向向量,代入向量夹角公式,即可得到CA1与平面AB1C1所成的角的正弦值.
证明:(1)∵侧棱AA1⊥底面ABC
AA1⊥AB,又AC⊥AB,
∴AB⊥平面AA1C1C,即AP⊥平面AA1C1C,
∴AP⊥CA1,又AC=AA1=1,所以四边形AA1C1C是正方形,
∴CA1⊥AC1,从而CA1⊥平面AC1P,
又C1P⊂平面AC1P
∴CA1⊥C1P
(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1体积为1,即V=S△ABC×AA1=[1/2]AB×1×1=1,
∴AB=2、
以AA1,A1B1,A1C1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由题设条件得
A(1,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,1),C(1,0,1),
C1A=(1,0,-1),
B1A=(1,-2,0),设平面AB1C1的法向量
n=(x,y,z),则
x−z=0
x−2y=0,
令x=1,则平面AB1C1的法向量
n=(1,[1/2],1),又
C
点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质.
考点点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定与性质,其中(1)的关键是熟练掌握空间直线与直线,直线与平面垂直的相互转化,(2)的关键是建立坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,将线面夹角问题转化为空间向量夹角问题.