Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2 ，

Answer 1

(1)设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，

则

，解得

，

∴椭圆C的标准方程为

。

(2)由方程组

消去y，得(3+4k ²)x ²+8kmx+4m ²-12=0，

由题意Δ=(8km) ²-4(3+4k ²)(4m ²-12)＞0，

整理得：3+4k ²-m ²＞0， ①

设M(x ₁，y ₁)、N(x ₂，y ₂)，

则

，

由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2，0)，

∴(x ₁-2)(x ₂-2)+y ₁y ₂=0，

即(1+k ²)x ₁x ₂+(km-2)(x ₁+x ₂)+m ²+4=0，

也即

，

整理得7m ²+16mk+4k ²=0，解得m=-2k或

，均满足①．

当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点(2，0)，不符合题意，舍去；

当

时，直线l的方程为

，过定点

，故直线l过定点，且定点的坐标为

。