Question

（本题满分16分）已知函数 ．（1）若关于 的方程 只有一个实数解，求实数 的取值范围；（2）若当 时，不等式 恒成立，

Answer 1

（1）方程

，即

，变形得

，

显然，

已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程

，

有且仅有一个等于1的解或无解，

结合图形得

. ……………………6分

（2）不等式

对

恒成立，即

（*）对

恒成立，

①当

时，（*）显然成立，此时

； ……………………8分

②当

时，（*）可变形为

，………………………10分

令

…………………………12

因为当

时，

，当

时，

，

所以

，故此时

. …………………15分

综合①②，得所求实数

的取值范围是

. …………………………………16分

第一问中，方程

，即

，变形得

，

显然，

已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程

，

有且仅有一个等于1的解或无解，

结合图形得

.

第二问，不等式

对

恒成立，即

（*）对

恒成立，

①当

时，（*）显然成立，此时

；

②当

时，（*）可变形为

令

因为当

时，

，当

时，

，

所以

，故此时