a的平方/a+b +b的平方/b+c +c的平方/a+c ≥a+b+c/2

2个回答

  • (这里x的平方=x^2)

    证明:

    首先证明 a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) = b^2/(a+b) + c^2/(b+c) + a^2/(c+a)

    [a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)] - [b^2/(a+b) + c^2/(b+c) + a^2/(c+a)]

    = [a^2/(a+b) - b^2/(a+b)] + [b^2/(b+c) - c^2/(b+c)] + [c^2/(c+a) - a^2/(c+a)]

    = (a^2 - b^2)/(a+b) + (b^2 - c^2)/(b+c) + (c^2 - a^2)/(c+a)

    = (a-b) + (b-c) + (c-a)

    = 0

    所以 a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) = b^2/(a+b) + c^2/(b+c) + a^2/(c+a).

    然后证明 [a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)] + [b^2/(a+b) + c^2/(b+c) + a^2/(c+a)] ≥(a+b+c)/2

    [a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)] + [b^2/(a+b) + c^2/(b+c) + a^2/(c+a)]

    = [a^2/(a+b) + b^2/(a+b)] + [b^2/(b+c) + c^2/(b+c)] + [c^2/(c+a) + a^2/(c+a)]

    = (a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a)

    因为 (a^2 + b^2) - [(a+b)^2]/2 = 1/2 * (a-b)^2 ≥ 0

    所以 (a^2 + b^2) ≥ [(a+b)^2]/2,即 (a^2 + b^2)/(a+b) ≥ (a+b)/2

    所以(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ (a+b)/2 +(b+c)/2 + (c+a)/2

    以上不等式右边 = a+b+c

    于是我们证得了(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ a+b+c ---(1);

    又因为 a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) = b^2/(a+b) + c^2/(b+c) + a^2/(c+a),

    于是(1)两边都除以2,证得

    a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≥ (a+b+c)/2

    --------------------我是证明结束的分割线-------------------------

    以下是吐槽:

    好想用手写,打符号好麻烦 T_T