Question

已知a+b+c=1,求证：（a/1+b+c）+（b/1+a+c）+（c/1+a+b）≥3/5

Answer 1

好像题目中应加上a、b、c为正实数.

可以利用柯西不等式来证明

a/(1+b+c)+b(/1+a+c)+c/(1+a+b)=a/(2-a)+b/(2-b)+c/(2-c)=-3+2[1/(2-a)+1/(2-b)+1/(2-c)]

[(2-a)+(2-b)+(2-c)][1/(2-a)+1/(2-b)+1/(2-c)]≥[√(2-a)·1/(2-a)+√(2-b)·1/(2-b)+√(2-c)·1/(2-c)]²=9

(2-a)+(2-b)+(2-c)=5

所以1/(2-a)+1/(2-b)+1/(2-c)≥18/5

a/(1+b+c)+b(/1+a+c)+c/(1+a+b)≥-3+2×9/5=3/5.