(θ,智能ABC下,按v+6,选择就可以了.)
首先,可求出卫星轨道周长c=2πs/θ,则卫星轨道半径r=c/2π=s/θ.
⑴卫星高度h=r-R=s/θ-R.
⑵卫星做圆周运动,万有引力提供向心力.可先求出卫星的轨道速度v=s/t；另,GMm/r²=mv²/r,所以：M=v²r/G=(s/t)²·(s/θ)/G=s³/Gθt².
行星圆周运动向心力又万有引力提供,则mv²/R=GMm/R².
⑴所以,M=v²R/G=(2πR/T)²R/G=4π²R³/GT².
⑵v²=GM/r’,其中r’是该行星卫星的轨道半径,很显然,v²∝1/r’,r’越小,v越大.r’最小的时候,就是卫星贴地飞行的时候(当然,这是最理想的情况.),如此,Vmax=√(GM/r),这相当于是该行星的第一宇宙速度.
⑶①根据第二宇宙速度定义,该行星上发射的卫星成为恒星的卫星,也就是动能完全转化为势能,0.5mv²=GMm/r,也就是说第二宇宙速度v=√(2GM/r),是第一宇宙速度的√2倍.
②行星的公转速度v=2πR/T.
③行星的密度ρ=m/V=m/(4πr³/3)=3m/4πr³.
地球上,忽略地球极半径与赤道半径的差异,在极点处放一东西,它所受的重力就是万有引力(其它地方重力和万有引力之间存在略微的差距.),所以mg=GMm/R²,故,地球质量M=gR²/G.
⑴月球轨道运动的向心力由万有引力提供,则GMm/r²=mv²/r=4π²mr/T².所以r³=GMT²/4π²=gR²T²/4π²,所以,轨道半径r=³√(gR²T²/4π²).
⑵首先求出月球上的重力加速度g’,不计月球空气阻力的影响,竖直上抛落下过程中,机械能不变,g’=2v/t.因为小球上抛和下落过程是一个逆返的过程,上抛是速度从v→0,而下落则是0→v,耗时是一样的,题目中给出的是总时间t,所以,很明显,上抛时间和下落时间都是t/2,即：g’(t/2)=v,g’=2v/t.
月球质量M月=g’(R月)²/G=2(R月)²v/Gt,(直接套用之前地球质量的公式.)