Question

各项均为正数的等比数列{an}满足a2=3，a4-2a3=9

Answer 1

解题思路：（1）利用等比数列的通项公式即可得出；

（2）利用对数的运算法则和“裂项求和”即可；

（3）利用新定义和数列的单调性即可得出．

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，

由

a4−2a3＝9

a2＝3得

a2(q2−2q)＝9

a2＝3，

解得q=3或q=-1，

∵数列{a_n}为正项数列，∴q=3．

∴首项a1＝

a2

q＝1，

∴an＝3n−1．

（2）证明：由（1）得bn＝(n+1)•log3an+1＝(n+1)log33n＝n(n+1)

∴[1

bn＝

1

n(n+1)＝

1/n−

1

n+1]

∴Tn＝

1

b1+

1

b2+…+

1

bn＝1−

1

2+

1

2−

1

3+…+

1

n−

1

n+1＝1−

1

n+1＜1

（3）由（1）得an＝3n−1，

∴cn＝

nan−4

nan＝1−

4

n•3n−1，

∴c1＝1−

4

1＝−3，c2＝1−

4

2×3＝

1

3，

∴c₁•c₂=-1＜0，

∵cn+1−cn＝1−

4

(n+1)•3n−(1−

4

n•3n−1)＝

4(2n+3)

n(n+1)•3n＞0

∴数列{c_n}是递增数列；

由c2＝

1

3＞0得，当n≥2时，c_n＞0．

∴数列{c_n}的“积异号数”为1．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算法则和“裂项求和”、新定义和数列的单调性，属于难题．