解题思路:(1)欲求椭圆的离心率,只需找到a,c的齐次式,根据直线NB是圆M的切线,则直线NB与直线AB垂直,斜率等于AB斜率的负倒数,得到直线NB的方程,再求出直线MO的方程,与直线NB联立,解为N点坐标,又因为N点在椭圆上,代入椭圆方程,即可得到含a,c的方程,解出离心率.
(2)圆M与△DEG恰有一个公共点,圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方,由此可得两个含a,b的方程,解方程组可得.
(1)∵A(a,0),B(0,b),∴M([a/2],[b/2])
∴直线MO方程为y=[b/a]x
∵直线AB斜率为-[b/a],直线NB是圆M的切线,∴直线NB的斜率为[a/b]
∴直线NB方程为y=[a/b]x+b
由
y=
b
ax
y=
a
bx+b得N(
ab2
b2−a2,
b3
b2−a2)
又∵N点在椭圆上
x2
a2+
y2
b2=1,∴
(
ab2
b2−a2)2
a2+
(
b3
b2−a2)2
b2=1
化简,得2b4=(b2-a2
点评:
本题考点: 圆与圆锥曲线的综合.
考点点评: 本题考查了椭圆离心率的求法,以及椭圆与圆的综合问题,综合性强.