Question

在RT△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° D是BC上任意一点 求证BD²+CD²=2AD

Answer 1

证 明：作AE⊥BC于E,如上图所示：

由题意得：ED=BD-BE=CE-CD,

∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,

∴BE=CE= 12BC,

由勾股定理可得：

AB2+AC2=BC2,

AE2=AB2-BE2=AC2-CE2,

AD2=AE2+ED2,

∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BD-BE）2+AC2-CE2+（CE-CD）2

=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE

=AB2+AC2+BD2+CD2-2× 12BC×BC

=BD2+CD2,

即：BD2+CD2=2AD2．