Question

（2014•杨浦区三模）气象台预报，距离S岛正东方向300km的A处有一台风形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°

Answer 1

解题思路：（1）设台风中心经过3小时到达点B，在△SAB中，由已知结合余弦定理求得SB，判断与270的大小后得答案；

（2）设台风中心经过t小时到达点B，在△SAB中，由已知结合余弦定理求得SB，再由SB²≤270²列不等式求解t的取值范围，从而得到S岛受到台风的影响时刻和持续时间．

解；（1）设台风中心经过3小时到达点B，

由题意，在△SAB中，SA=300，AB=90，

∠SAB=90°-30°=60°，根据余弦定理，

SB²=SA²+AB²-2SA•AB•cos∠SAB

=300²+90²-2×300×90cos60°

=71100，

∴SB＝

71100≈266.6＜270．

∴经过3小时S岛已经受到了影响．

（2）可设台风中心经过t小时到达点B，由题意得，

∠SAB=90°-30°=60°．

在△SAB中，SA=300，AB=30t，

由余弦定理，SB²=SA²+AB²-2SA•AB•cos∠SAB=300²+（30t）²-2×300×30tcos60°，

若S岛受到台风影响，则有SB≤270，即SB²≤270²，

化简整理得t²-10t+19≤0，解此不等式得5−

6≤t≤5+

6．

即t的范围大约在2.5小时与7.4小时之间．

∴从台风形成起，大约在2.5小时S岛开始受到影响，约持续4.9小时以后影响结束．

点评：

本题考点： 解三角形的实际应用．

考点点评： 本题考查解三角形的实际应用，考查了余弦定理的用法，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．