解题思路：（1）根据顶点坐标设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，然后把点A的坐标代入求出a的值即可得解，再令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点B的坐标；
（2）①先求出抛物线的对称轴解析式，再根据点P、R的速度求出AQ，OR，利用抛物线解析式表示出PQ，再分AQ和AO是对应边，AQ和OR是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到t的值；
②点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，根据点C的坐标求出时间，然后表示出AQ、PR，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解；AP∥QR时，根据两直线平行，内错角相等可得∠APQ=∠PQR，设PQ与x轴相交于D，从而得到△APQ和△RQD相似，然后表示出AQ、RD，再根据抛物线解析式表示出PQ，利用相似三角形对应边成比例列式求出时间t，再根据梯形的面积=S△APQ+S△PQR，列式计算即可得解．
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入，得，a+4=3，
解得，a=-1，
所以，函数的解析式为，y=-（x-1）2+4，
即：y=-x2+2x+3，
在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得，x=-1或3，
所以，B点的坐标是（-1，0）；
（2）①∵y=-（x-1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点Q的速度为每秒1个单位，点R的速度为每秒2个单位，
∴AQ=t+1，OR=2t，
∵点P在抛物线上，PQ∥y轴，
∴PQ=3-[（-（t+1）2+2（t+1）+3]=（t+1）2-2（t+1），
若AQ和AO是对应边，∵△AQP∽△AOR，
∴[AQ/AO]=[PQ/OR]，
即[t+1/3]=
(t+1)2−2(t+1)
2t，
解得t=3，
若AQ和OR是对应边，∵△AQP∽△ROA，
∴[AQ/OR]=[PQ/AO]，
即[t+1/2t]=
(t+1)2−2(t+1)
3，
整理得，2t2-2t-3=0，
解得t1=
1+
7
2，t2=
1−
7
2（舍去），
综上所述，t=
1+
7
2或3时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似；
②当点P在x轴上即点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，
∵点C的坐标为（3，0），
∴AQ=t+1=3，
解得t=2，
∴AQ=2+1=3，PR=OR-OP=2×2-3=1，
S梯形AQRP=[1/2]（3+1）×3=6；
AP∥QR时，∠APQ=∠PQR，
设PQ与x轴相交于D，
又∵∠AQP=∠RDQ=90°，
∴△APQ∽△RQD，
∵AQ=t+1，RD=OR-OD=2t-（t+1）=t-1，
PQ=（t+1）2-2（t+1），
∴[AQ/RD]=
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，梯形的对边的性质，（1）利用顶点式形式求解更加简便，（2）难点在于两个小题都要分情况讨论．