已知函数f(x)满足对任意实数a,b,有f([a+2b/3])=f(a)+2f(b)3,且f(1)=1,f(4)=7,则

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  • 解题思路:由条件令a=4,b=1,得f(2)=3,令a=1,b=4,得f(3)=5,猜想:f(n)=2n-1(n∈N*).再由数学归纳法证明,即可求出f(2014)的值.

    ∵函数f(x)满足对任意实数a,b,有f([a+2b/3])=

    f(a)+2f(b)

    3,

    ∴由f(1)=1,f(4)=7,

    令a=4,b=1,得f(2)=

    f(4)+2f(1)

    3=3,

    令a=1,b=4,得f(3)=

    f(1)+2f(4)

    3=5,

    猜想:f(n)=2n-1(n∈N*).①

    证明:当n=1,2,3,4时①成立.

    假设n≤k(k>4且k为整数),①都成立.

    令a=k-2,b=k+1,得f(k)=

    f(k−2)+2f(k+1)

    3,

    ∴f(k+1)=

    3f(k)−f(k−2)

    2=

    3(2k−1)−2(k−2)+1

    2

    =2(k+1)-1,

    即对n=k+1.f(k+1)=2(k+1)-1成立.

    ∴对任意正整数n,f(n)=2n-1(n∈N*)都成立.

    ∴f(2014)=2×2014-1=4027.

    故答案为:4027.

    点评:

    本题考点: 函数的值.

    考点点评: 本题考查抽象函数及运用,考查赋值法的运用,同时考查运用数学归纳法证明与n有关的命题,属于中档题.