解题思路:由条件令a=4,b=1,得f(2)=3,令a=1,b=4,得f(3)=5,猜想:f(n)=2n-1(n∈N*).再由数学归纳法证明,即可求出f(2014)的值.
∵函数f(x)满足对任意实数a,b,有f([a+2b/3])=
f(a)+2f(b)
3,
∴由f(1)=1,f(4)=7,
令a=4,b=1,得f(2)=
f(4)+2f(1)
3=3,
令a=1,b=4,得f(3)=
f(1)+2f(4)
3=5,
猜想:f(n)=2n-1(n∈N*).①
证明:当n=1,2,3,4时①成立.
假设n≤k(k>4且k为整数),①都成立.
令a=k-2,b=k+1,得f(k)=
f(k−2)+2f(k+1)
3,
∴f(k+1)=
3f(k)−f(k−2)
2=
3(2k−1)−2(k−2)+1
2
=2(k+1)-1,
即对n=k+1.f(k+1)=2(k+1)-1成立.
∴对任意正整数n,f(n)=2n-1(n∈N*)都成立.
∴f(2014)=2×2014-1=4027.
故答案为:4027.
点评:
本题考点: 函数的值.
考点点评: 本题考查抽象函数及运用,考查赋值法的运用,同时考查运用数学归纳法证明与n有关的命题,属于中档题.