各位网民多多指教
⑴对于无穷式1-2+3-4+5-6+7-8……=0.25
虽然它是发散的,但是注意到它是双发散型的.
如果我们从左往右算起,算到第一个数时,值为1,第二个数时,值为-1,第三,第四,第五……值分别为2,-2,3……
也就是
1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,6,-6……
我们可以发现当算到第奇数个时,值趋向于无穷大,当算到第偶数个时,值趋向于无穷小.这时候我们就不能简简单单地说因为发散所以无值.
我们发现上式的值满足这样的公式:
y=(n+1)/2,n∈奇数
y=-n/2,n∈偶数
所以当n=∞时,y=(∽+1)/2或-∞/2
因为等于(∞+1)/2和-∞/2的概率是一样的,
所以y=[(∞+1)/2+(-∞/2)]/2=1/4=0.25
⑵如果对上式的概率方法不太满意的话,可以用设值的方法.
网友也许见过这样一条式子：
1-1+1-1+1-1+1……=0.5
它的解法是
设1-1+1-1+1-1+1……=y
则-y=-1+1-1+1-1+1-1……
=-1+(1-1+1-1+1-1……)
=-1+y
对于1-2+3-4+5-6+7-8……=0.25
设1-2+3-4+5-6+7-8……=y
则-y=-1+2-3+4-5+6-7+8……
=-1+(1+1)-(1+2)+(1+3)-(1+4)+(1+5)-(1+6)+(1+7)……
=(-1+1-1+1-1+1-1+1……)+(1-2+3-4+5-6+7……)
=-(1-1+1-1+1-1+1-1……)+(1-2+3-4+5-6+7……)
=-0.5+y
所以y=0.25
⑶如果我们把⑵的方法进行推广,可以发现很多有趣的式子.
对于任意的和差无穷式
a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8……=?
每一项都满足a(n)(n=1,2,3,4,5,6,7,8……)
我们记为h[a(n)]=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8……①
[例如：h(n)=1-2+3-4+5-6+7-8……
h(n^2-1)=0-3+8-15+24-35-48+63……
h(2)=2-2+2-2+2-2+2-2+2……]
那么h[a(n+1)]=a2-a3+a4-a5+a6-a7……②
①+②得
则h[a(n)]+h[a(a+1)]=a1
对于无穷式h[n]=1-2+3-4+5-6+7-8……
就不难求了,
h[n]+h[n+1]=a1=1③
h[n+1]=h[n]+h[1]=h[n]+0.5④
④代入③得
2h[n]+0.5=1
所以h[n]=0.25
用同样的方法可以求出
h(n^2-1)=0-3+8-15+24-35-48+63……=-0.5
h(n^4)=1-16+81-4^4+5^4-6^4……=0
⑷我们检验一下⑶
先出一个式子h[(1/2)^n]=1/2-1/4+1/8-1/16+1/32-1/64+1/128-1/256……
我们先用常规方法来做
h[(1/2)^n]=1/2-1/4+1/8-1/16+1/32-1/64+1/128-1/256……
=1/4+1/16+1/64+1/256+……
=1/4*[1-(1/4)^∞]/[1-1/4]
=1/3
现在我们用上述方法来做一下
h[(1/2)^n]+h[(1/2)^(n+1)]=a1=1/2
h[(1/2)^n]+h[1/2*(1/2)^n]=1/2
h[(1/2)^n]+1/2*h[(1/2)^n]=1/2
3/2*h[(1/2)^n]=1/2
h[(1/2)^n]=1/3
⑸以上是本人对和差无穷式的研究.