Question

已知m，n，s，t∈R + ，m+n=2， m s + n t =9 ，其中m、n是常数，当s+t取最小 4 9 时，m

Answer 1

由已知得s+t=

1

9 （s+t）（

m

s +

n

t ）=

1

9 （m+n+

mt

s +

ns

t ）≥

1

9 （m+n+2

mn ）=

1

9 （

m +

n ） ²，

由于s+t的最小值是

4

9 ，

因此

1

9 （

m +

n ） ²=

4

9 ，即

m +

n =2，又m+n=2，

所以m=n=1．

设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x ₁，y ₁），（x ₂，y ₂），

则有

x 1 + x 2

2 =

y 1 + y 2

2 =1，即x ₁+x ₂=y ₁+y ₂=2①．

又该两点在双曲线上，则有

x 1 2

4 -

y 1 2

2 =1 ，

x 2 2

4 -

y 2 2

2 =1 ，

两式相减得

(x 1 + x 2 ) (x 1 - x 2 )

4 -

(y 1 + y 2 ) (y 1 - y 2 )

4 =0②，

把①代入②得

y 1 - y 2

x 1 - x 2 =

1

2 ，

即所求直线的斜率是

1

2 ，所求直线的方程是y-1=

1

2 （x-1），即x-2y+1=0．

故选A