解题思路:根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.
因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,
所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=
4
a2+b2>2,
所以a2+b2<4,
所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点.
∵椭圆的长半轴 3,短半轴为 2
∴圆x2+y2=4内切于椭圆
∴点P是椭圆内的点
∴过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.
故选C.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线与圆的位置关系.
考点点评: 本题主要考查了直线与圆、直线与圆锥曲线的关系,以及点到直线的距离公式,解题的关键是确定点P是椭圆内的点.