Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从

Answer 1

解题思路：（1）要使△QAP为等腰三角形，令AQ=AP即可得出t的值；

（2）利用△QCP的面积为S=S_ABCD-S_APQ-S_CBP-S_CDQ即可求出s与t之间的函数关系式；

（3）使△QAP∽△PBC，△PAQ∽△PBC两种情况讨论即可得出以点Q、A、P为顶点的三角形与△PBC相似．

（1）当△QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，

又∵AQ=6-t，AP=2t，

∴2t=6-t，

∴t=2．即当t=2时，△QAP为等腰三角形．

（2）依题意，得S=S_矩形ABCD-S_△QDC-S_△QAP-S_△PBC

整理，得S=t²-6t+36．

配方，得S=（t-3）²+27．

∴S与t之间的函数关系式为S=t²-6t+36．

当t=3时，S有最小值，最小值是27．

（3）AB=12，BC=6，

v_P=2，v_Q=1，

AP=v_Pt=2t

DQ=v_Qt=t

AQ=DA-DQ=6-t

BP=AB-AP=12-2t=2（6-t）

当△QAP∽△PBC时：

QA：PB=AP：BC

（6-t）：（12-2t）=2t：6

t=1.5

当△PAQ∽△PBC时：

PA：PB=AD：BC

2t：（12-2t）=（6-t）：6

（6-t）²=6t

t²-18t+36=0

（t-9）²=45

t=9±3

5

t=9+

5＞6，舍去

∴t=9-3

5

综上：t=1.5，或t=9-3

5．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质．

考点点评： 考查等腰三角形的性质以及相似三角形的判定．