Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°AC=BC=a，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又A1

Answer 1

解题思路：（I）证明线面垂直，可用线垂直的判定定理，由题意知，可证A1D⊥BC与AC⊥BC，再由定理得出结论；（II）求线面角，要先作出线面角，由线面角的定义，线与线在面内的投影所成的角即为线面角，由此找出线面角，在相应的三角形中求出它的三角函数值，再求角；（III）先由二面角的平面角的定作出二面角的平面角，再在三角形中求出此角的大小．

（I）证明：∵A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，

∴A₁D⊥面ABC，

∴A₁D⊥BC，

∠BCA=90°，

∴AC⊥BC

∵A₁D∩AC=D，

∴BC⊥平面ACC₁A₁；

（II）由（I）知，A₁D⊥面ABC，

AA₁在平面ABC的射影是AC，

∴∠A₁AD是AA₁与平面ABC所成的角，又A₁B⊥AC₁，A₁B在平面ACC₁A₁的投影为A₁C，

∴A₁C⊥AC，又ACC₁A₁是菱形，

∴AA₁=AC=a，AD=DC=[1/2]a，在Rt△A₁DA中，COS∠A₁AD=[AD

A 1A=

1/2]得∠A₁AD=[π/3]

（III）由（I）知BC⊥平面ACC₁A₁作CN⊥AA₁，于点N，连接BN，∠BNC是二面角B-AA₁ -C的平面角，

由图易知CN=

3

2a，BC=a

∴在Rt△BCN中，tan∠BNC=[BC/CN]=

2

3

3，

∴二面角B-AA₁ -C的平面角的正切值为

2

3

3

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查与二面角有关的立体几何题，考查了二面角的求法，线面角的求法，线面垂直等立体几何问题，解题的关键是熟练掌握线面角的作法，二面角的作法及线面垂直证明的定理，本题考查了数形结合的思想，规律性强，