Question

abc属于R*,证明a^4/bc+b^4/ca+c^4/ab≥a^2+b^2+c^2

Answer 1

两边同乘(bc+ca+ab)

即证(bc+ca+ab)(a^4/bc+b^4/ca+c^4/ab)≥(a^2+b^2+c^2)(bc+ca+ab)

由柯西不等式

(bc+ca+ab)(a^4/bc+b^4/ca+c^4/ab)>=(a^2+b^2+c^2)^2

于是即证(a^2+b^2+c^2)^2>=(bc+ca+ab)(a^2+b^2+c^2)

即证a^2+b^2+c^2>=bc+ca+ab

这个由排序不等式显然成立.

或者两边乘2配方成(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0也可以证明.

取等a=b=c