已知,如图,BD是△ABC的角平分线,AB=AC,

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  • 解题思路:(1)在BC上截取BE=BA,连接DE,证△ABD≌△EBD,推出AD=DE=CE,∠A=∠DEB,证出∠A=2∠C,因为∠C=∠B,根据三角形内角和定理求出即可;

    (2)在BC上截取CF=CD,连接DF,证△ABD≌△FBD,推出∠A=∠DFB,推出2∠A-∠C=180°,根据三角形内角和定理得到∠A+2∠C=180°,解方程组即可求出答案;

    (3)BC上截取BQ=BD,连接DQ,延长BA到W使BW=BQ,连接DW,求出CQ=DQ,证△WBD≌△CBD,推出∠W=∠DQB,证AD=DW,即可推出答案.

    (1)答:∠A=90°.理由如下:

    在BC上截取BE=BA,连接DE.

    ∵BC=AB+AD,

    ∴CE=AD,

    ∵BD是△ABC的角平分线,

    ∴∠ABD=∠EBD,

    ∵AB=BE,BD=BD,

    ∴△ABD≌△EBD,

    ∴AD=DE=CE,∠A=∠DEB,

    ∴∠C=∠EDC,

    ∴∠A=∠DEB=∠C+∠EDC=2∠C,

    ∵AB=AC,

    ∴∠C=∠B,

    ∵∠A+∠ABC+∠C=180°,

    ∴4∠C=180°,

    ∴∠C=45°,∠A=2∠C=90°,

    即∠A=90°;

    (2)在BC上截取CF=CD,连接DF.

    ∵BC=BA+CD,

    ∴BF=BA,

    ∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,

    ∴△ABD≌△FBD,

    ∴∠A=∠DFB,

    ∵CD=CF,

    ∴∠CDF=∠CFD,

    ∴∠C+2∠DFC=180°,

    ∵∠A+∠DFC=180°,

    ∴2∠A-∠C=180°,

    ∵∠A+2∠C=180°,

    解得:∠A=108°,

    答:∠A的度数是108°.

    (3)证明:

    在BC上截取BQ=BD,连接DQ,延长BA到W使BW=BQ,连接DW.

    ∵∠A=100°,AC=AB,

    ∴∠C=∠ABC=40°,

    ∵BD平分∠ABC,

    ∴∠DBQ=20°,

    ∵BD=BQ,

    ∴∠DQB=∠BDQ=[1/2](180°-∠DBQ)=80°,

    ∴∠CDQ=∠DQB-∠C=40°=∠C,

    ∴DQ=CQ,

    ∵在△WBD和△QBD中

    BW=BQ

    ∠WBD=∠QBD

    BD=BD,

    ∴△WBD≌△QBD,

    ∴∠W=∠DQB=80°,DW=DQ=CQ,

    ∵∠BAC=100°,

    ∴∠WAD=180°-100°=80°=∠W,

    ∴AD=DW=DQ=CQ,

    ∴BC=BD+DA.

    点评:

    本题考点: 角平分线的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题主要考查对三角形的内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,角平分线性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.