设a∈R,f(x)=cosx(asinx−cosx)+cos2(π2−x)满足f(−π3)=f(0),

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)通过二倍角公式,以及

    f(−

    π

    3

    )=f(0)

    ,求出a的值,利用两角差的正弦函数化简函数的表达式,通过正弦函数的单调增区间,求函数f(x)的单调递增区间;

    (Ⅱ)利用余弦定理化简

    a

    2

    +

    c

    2

    b

    2

    a

    2

    +

    b

    2

    c

    2

    c

    2a−c

    ,通过正弦定理求出

    cosB=

    1

    2

    ,推出B的值,然后求f(x)在(0,B]上的值域.

    (Ⅰ)f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x=[a/2sin2x-cos2x.

    由f(-

    π

    3)=f(0)得-

    3

    2•

    a

    2+

    1

    2=-1,解得a=2

    3].

    因此f(x)=

    3sin2x-cos2x=2sin(2x-

    π

    6).

    令-

    π

    2+2kπ≤2x-

    π

    6≤

    π

    2+2kπ,k∈Z

    得-

    π

    6+kπ≤x≤

    π

    3+kπ,k∈Z

    故函数f(x)=的单调递增区间[-

    π

    6+kπ,

    π

    3+kπ](k∈Z)(6分)

    (Ⅱ)由余弦定理知:

    a2+c2-b2

    a2+b2-c2=

    2accosB

    2abcosC=

    ccosB

    bcosC=

    c

    2a-c

    即2acosB-ccosB=bcosC,

    又由正弦定理知:2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA

    即cosB=

    1

    2,所以B=

    π

    3

    当x∈(0,

    π

    3]时,2x-

    π

    6∈(-

    π

    6,

    π

    2],f(x)∈(-1,2]

    故f(x)在(0,B]上的值域为(-1,2](12分)

    点评:

    本题考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;正弦定理.

    考点点评: 本题考查余弦定理,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,正弦定理个应用,考查转化思想与计算能力.