解题思路:(Ⅰ)通过二倍角公式,以及
f(−
π
3
)=f(0)
,求出a的值,利用两角差的正弦函数化简函数的表达式,通过正弦函数的单调增区间,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)利用余弦定理化简
a
2
+
c
2
−
b
2
a
2
+
b
2
−
c
2
=
c
2a−c
,通过正弦定理求出
cosB=
1
2
,推出B的值,然后求f(x)在(0,B]上的值域.
(Ⅰ)f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x=[a/2sin2x-cos2x.
由f(-
π
3)=f(0)得-
3
2•
a
2+
1
2=-1,解得a=2
3].
因此f(x)=
3sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6).
令-
π
2+2kπ≤2x-
π
6≤
π
2+2kπ,k∈Z
得-
π
6+kπ≤x≤
π
3+kπ,k∈Z
故函数f(x)=的单调递增区间[-
π
6+kπ,
π
3+kπ](k∈Z)(6分)
(Ⅱ)由余弦定理知:
a2+c2-b2
a2+b2-c2=
2accosB
2abcosC=
ccosB
bcosC=
c
2a-c
即2acosB-ccosB=bcosC,
又由正弦定理知:2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
即cosB=
1
2,所以B=
π
3
当x∈(0,
π
3]时,2x-
π
6∈(-
π
6,
π
2],f(x)∈(-1,2]
故f(x)在(0,B]上的值域为(-1,2](12分)
点评:
本题考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;正弦定理.
考点点评: 本题考查余弦定理,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,正弦定理个应用,考查转化思想与计算能力.