（2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a2-a-6

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解题思路：（1）通过已知条件求出a，b利用
b
n
＝
a
n+1
−b
a
n
(n∈
N
*
)
，通过等比数列的定义证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，然后利用（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若{c_n}满足c₁=1，c₂=5，
c
n+2
＝5
c
n+1
−6
c
n
(n∈
N
*
)
，直接利用数学归纳法的证明步骤，证明：
c
n
+a
c
n−1
＝
a
n
3n−2
(n≥2，n∈
N
*
)
．
证明（1）∵a＜b，a²-a-6=0，b²-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a₂=12．
∵an+1＝6an−9an−1(n≥2，n∈N*)，bn＝an+1−ban(n∈N*)，
∴b_n+1=a_n+2-3a_n+1
=6a_n+1-9a_n+1-3a_n+1
=3（a_n+1-3a_n）
=3b_n（n∈N^*）．
又b₁=a₂-3a₁=9，
∴数列{b_n}是公比为3，首项为b₁的等比数列．
（2）依据（1）可以，得b_n=3ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
于是，有a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹（n∈N^*），即
an+1
3n+1−
an
3n=1，（n∈N^*）．
因此，数列{
an
3n}是首项为
a1
31=[1/3]，公差为1的等差数列．
故
an
3n＝
1
3+(n−1)•1．
所以数列{a_n}的通项公式是a_n=（3n-2）•3^n-1（n∈N^*）．
（3）用数学归纳法证明：cn +acn−1＝
an
3n−2(n≥2，n∈N*)
（i）当n=2时，左边：c_n+ac_n-1=c₂-2c₁=3，
右边：
an
3n−2＝
(3×2−2)•32−1
3×2−2＝3，
即左边=右边，所以当n=2时结论成立．
（ii）假设当n=k．（k≥2，k∈N^*）时，结论成立，即ck +ack−1＝
ak
3k−2(k≥2，k∈N*)．
当n=k+1时，左边=c_k+1+ac_k
=5c_k-6c_k-1-2c_k
=3（c_k-2c_k-1）=3•
ak
3k−2＝3k，
右边=
ak+1
3(k+1)−2＝
点评：
本题考点：数学归纳法；等比关系的确定；数列递推式．
考点点评：本题考查数学归纳法，等比关系的确定，数列递推式考查逻辑推理能力，计算能力．

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