Question

证明：对任意实矩阵A,有r(ATA)=r(AAT)=r(A)

Answer 1

如果你知道奇异值分解,那么结论显然.

如果不知道就这样做：

若r(A)=k,那么可以用Gauss消去法把A消成梯阵,即CA=U,其中C是行初等变换的乘积,U仅有前k行非零且线性无关.

于是CAA^TC^T=UU^T,UU^T具有

B 0

0 0

的分块结构,其中B是k阶的满秩矩阵.又C是可逆的,所以r(AA^T)=r(B)=k=r(A).

再利用r(A)=r(A^T)得r(A^T*A)=r(A^T).