Question

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）通过证明BD⊥平面AEC，得出BD⊥AE；

（2）通过△ACC₁的中位线证明线线平行，再证明线面平行；

（3）点A到平面B₁DE的距离等于点C到平面B₁DE的距离，利用等积法求出三棱锥A-B₁DE的体积．

（1）证明：连接BD，AE，

∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

又∵EC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，

∴EC⊥BD，且EC∩AC=C，

∴BD⊥平面AEC，

又AE⊂平面AEC，∴BD⊥AE；-----------（4分）

（2）证明：连接AC₁，设AC₁∩B₁D=G，

则G为AC₁的中点，E为C₁C的中点，

∴GE为△ACC₁的中位线，

∴AC∥GE，GE⊂平面B₁DE，AC⊄平面B₁DE，

∴AC∥平面B₁DE；

（3）由（2）知，点A到平面B₁DE的距离等于点C到平面B₁DE的距离，

∴三棱锥A-B₁DE的体积是

V锥A−B1DE=V锥C−B1DE=[1/3]S△B1DE•DC=[1/3]×（[1/2]×1×2）×2=[2/3]，

∴三棱锥A-B₁DE的体积为[2/3]．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查了空间中的垂直与平行的判断与性质的应用问题，也考查了求几何体的体积的问题，是综合性题目．