Question

设数列{an}的前n项积为Tn,Tn=1-an.(1)证明：数列{1／Tn}成等差数列；(2)求{an}的通项.

Answer 1

t(1)=a(1)=1-a(1),a(1)=1/2=t(1).

t(n)=1-a(n)

a(n)=1-t(n)

a(n+1)=1-t(n+1)

a(n+1)t(n)=[1-t(n+1)]t(n)=t(n+1)

若t(n+1)=0,则,t(n)=0,...,t(1)=0,与t(1)=1/2矛盾.

因此,t(n)不等于0.

[1-t(n+1)]t(n)=t(n+1)

1/t(n+1)-1=1/t(n)

1/t(n+1)=1/t(n) + 1

{1/t(n)}是首项为2,公差为1的等差数列.

1/t(n)=2+n-1=n+1

t(n)=1/(n+1)

a(n)=1-t(n)=1-1/(n+1)=n/(n+1)