Question

已知a>b>c>d,则[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]*(a-d)的最小值为

Answer 1

用换元法.

a-d = (a-b) + (b-c) + (c-d),令 a-b=x,b-c=y,c-d=z,则 x,y,z 均为正实数.因此只要求 (1/x+1/y+1/z)(x+y+z) 的最小值.

(1/x+1/y+1/z)(x+y+z) (展开)

=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y) (对三个小括号中的式子用均值不等式)

>=3+2+2+2

=9

因此原式的最小值为9.等号当且仅当 x=y=z,即 a-b=b-c=c-d 时取到.