Question

（理）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得：a₃=a₁+2d，a₉=a₁+8d．结合a₁、a₃、a₉成等比数列，得到d．进而求出数列{a_n}的通项公式．

（2）根据（1）中得出的数列{a_n}的通项公式，从而求得数列{

1

a

2

n

}的通项公式，再利用拆项法求出其前n项和即可证得结论．

（1）由题设知公差d≠0，

由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列得[1+2d/1＝

1+8d

1+2d]，…（4分）

解得d=1，d=0（舍去），…（4分）

故{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n． …（5分）

（2）（理）∵n≥2时，[1

a2n＝

1

n2＜

1

(n−1)n＝

1

(n−1)−

1/n]，…（7分）

∴Tn＝

1

12+

1

22+

1

32+

1

42+…

1

n2＜1+

1

4+(

1

2−

1

3)+(

1

3−

1

4)+…(

1

n−1−

1

n)＝

7

4−

1

n．

∵n∈N^*，∴Tn＜

7

4．…（10分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．另外裂项求和是常考数列求和的方法，并通过放缩法证明不等式．此题非常好，很典型．