Question

已知△ABC中，∠A=60°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC=______°．（2）如图

Answer 1

解题思路：（1）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．

（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O₂BC+∠O₂CB，即可求出∠BO₂C．

（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠O_n-1BC+∠O_n-1CB，即可求出∠BO_n-1C．

（4）依据（3）的结论即可求出n的值．

∵∠BAC=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=[1/2]（∠ABC+∠ACB）=60°，

∴∠BOC=120°；

（2）∵点O₂是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，

∴∠O₂BC+∠O₂CB=[2/3]（∠ABC+∠ACB）=80°，

∴∠BO₂C=100°；

（3）∵点O_n-1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，

∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=[n−1/n]（∠ABC+∠ACB）=[n−1/n]×120°，

∴∠BO_n-1C=180°-[n−1/n]×120°=（1+[2/n]）×60°；

（4）由（3）得：（1+[2/n]）×60°=90°，

解得：n=4．

点评：

本题考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质．

考点点评： 此题练习角的等分线的性质以及三角形内角和定理．根据题意找出规律是解题的关键．