如何证明代数数集与有理数集的势相同,而超越数集的势与实数集的势相同.

2个回答

  • 有理数集可数,这个应该知道.

    而代数数是有理系数多项式的根.

    而对于一个n次有理系数多项式来,他的根只有有限多个.

    而所有n次有理系数多项式与Q^n等式,所以是可数的.

    所以,对于固定的n,所有根的集合是可数个有限集的并是可数的.

    再让n跑遍所有自然数,得到代数数集是可数个可数集的并.所以是可数的.

    于是与有理数等势.

    (超越数集)的势=(超越数集∪代数数集)的势= (实数集)的势

    左边等式成立的理由是:一个无限集并上一个可数集,不改变势