解题思路：根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的96平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长=（96÷4）÷3=8厘米，由于长比高多3厘米，那么高=8-3=5厘米，由此解答．
增加的1个面的面积：96÷4=24（平方厘米）；
长方体的长（宽）：24÷3=8（厘米）；
长方体的高：8-3=5（厘米）；
体积：8×8×5=320（立方厘米）；
答：原来这个长方体的体积是320立方厘米．
点评：
本题考点： 长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
考点点评： 此题解答关键是求出长方体的长、宽，进而求出高；然后利用长方体的体积计算公式解答即可．