用复数比较方便
e^(xi)=cosx+isinx
e^(2xi)=cos2x+isin2x
...
e^(nxi)=cosnx+isinnx
相加得
e^(xi)+e^(2xi)+...+e^(nxi)=(cosx+cos2x+...+cosnx)+i(sinx+sin2x+...+sinnx)
e^(xi)+e^(2xi)+...+e^(nxi),用等比数列求和
=e^(xi) [1-e^(nxi)]/(1-e^(xi))
=Cos[(1 + n) x/2] Csc[x/2] Sin[(n x)/2]+i Csc[x/2] Sin[(n x)/2] Sin[ (1 + n) x/2]
比较系数得
sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx=Csc[x/2] Sin[(n x)/2] Sin[(1 + n) x/2]