解题思路:利用三点连线的斜率关系判定①的正误;
直接写出命题的否命题即可判定②的正误;
利用函数的单调性,零点存在定理判定③的正误;
通过函数的导数,以及函数的性质,求出不等式的解集,判定④的正误,即可得到结论.
①
S10
10=
a1+a10
2,
S100
100=
a1+a100
2,
S110
110=
a1+a110
2,设等差数列的公差为d,
∴
S100
100−
S10
10
100−10=
a110−a10
2×90=[d/2],
S110
110−
S100
100
110−100=
a110−a100
2
10=[d/2],
即 前两个点连线的斜率等于后两个点连线的斜率,故三点共线,故①正确.
②根据命题的否定的定义,“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;是正确的,故②正确.
③函数f(x)=x-[1/x]+k在(0,1)没有零点,故f′(x)=1+[1
x2>0,所以函数在(0,1)内是增函数,x-
1/x]<0,当k≥2时,函数有零点,③不正确.
④f(x)是定义在R上的奇函数,f′(x)>0,且f(2)=[1/2],所以x>0时,函数是恒为正值,f(0)=0,x<0时函数为负值,2f(2)=1,则xf(x)<1的解集为(-2,2).正确.
故答案为:①②④.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;命题的否定;函数零点的判定定理;三点共线.
考点点评: 本题是综合题,考查三点共线,命题的否定,零点,导数与不等式的知识,考查知识的灵活运应,是中档题.