Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是棱CC1,BC,A1B1上的点,若角B1MN=90度,则角PMN的

Answer 1

不用向量更简单,

∵A1B1⊥平面BCC1B1,

MN∈平面BCC1B1,

∴A1B1⊥MN,

∵MN⊥B1M,

B1P∩B1M=B1,

∴MN⊥平面PB1M,

∵PM∈平面PB1M,

∴MN⊥PM.即〈PMN=90°.

向量法：

以A为原点,以AB、AD、AA1分别 为X轴、Y轴和Z轴建立空间直角坐标系,

B（1,0,0）,N（1,y0,0),

M(1,1,z0),B1(1,0,1),P(x0,0,1),

向量B1M=（0,1,z0-1),

向量MN=（0,1-y0,z0),

∵向量MN⊥B1M,

∴MN·B1M=1-y0+z0^2-z0=0,

向量PM=（1-x0,1,z0-1),

PM·MN=1-y0+z0^2-z0=0,

∴向量PM⊥MN,

即〈PMN=90°.