解题思路：（1）由于已知函数类型为二次函数，故可以使用待定系数法求函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）的结论，分析二次函数的开口方向及对称轴与区间[-1，1]的关系，易得y=f（x）在[-1，1]上的最大值．
（1）设f（x）=ax2+bx+c
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x
即：
2a＝2
a+b＝0
即a=1，b=-1
又由f（0）=1．
得：c=1
∴f（x）=x2-x+1
（2）由（1）知，函数f（x）=x2-x+1的图象为
开口方向朝上，以x=[1/2]为对称轴的抛物线
故在区间[-1，1]上，当x=-1时，
函数取最大值f（-1）=3
点评：
本题考点： 函数的表示方法；函数的最值及其几何意义．
考点点评： 求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g-1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．