Question

（2008•武汉模拟）已知P为椭圆x24+y2＝1和双曲线x2−y22＝1的一个交点，F1，F2为椭圆的焦点，那么∠F1

Answer 1

解题思路：由椭圆和双曲线方程，可知两条圆锥曲线共焦点，P为椭圆与双曲线的交点，根据椭圆与双曲线的定义，可求出P到

F₁，F₂距离，在三角形PF₁F₂中，应用余弦定理，就可求出∠F₁PF₂的余弦值．

∵椭圆

x2

4+y2＝1，∴椭圆中c=

3，

∵双曲线x2−

y2

2＝1，∴双曲线中c=

3，∴椭圆与双曲线共焦点，

∵P为椭圆

x2

4+y2＝1和双曲线x2−

y2

2＝1的一个交点，不妨设P点在双曲线右支上，

∴|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=2，∴∴|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，|F₁F₂|=2

3

在△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

32+12−(2

3)2

2×3×1=-[1/3]

故答案为-[1/3]

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和性质，以及焦点三角形中，余弦定理的考查，属于常规题．