1.延长MB至E,使BE=CN
因为 等边三角形ABC
所以 角ABC=角ACB=60度
因为 三角形BDC是顶角BDC为120度的等腰三角形
所以 角CBD=角BCD=30度,DB=DC
所以 角ABC+角CBD=角ACB+角BCD=90度
所以 角ABD=角DBE=角ACD=90度
因为 角DBE=角DCN=90度,BE=CN,DB=DC
所以 三角形EDB全等于三角形NDC
所以 DE=DN,角EDB=角NDC
因为 角BDC=120度,角MDN=60度
所以 角NDC+角BDM=60度
因为 角EDB=角NDC
所以 角EDB+角BDM=60度,即角EDM=60度
因为 角MDN=60度
所以 角EDM=角NDM
因为 DE=DN,DM=DM
所以 三角形EDM全等于三角形NDM
所以 EM=MN
因为 BE=CN,EM=BE+BM
所以 CN+BM=MN
所以 三角形AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+CN+BM=AB+AC
因为 三角形ABC是边长为1的正三角形
所以 AB=AC=1
所以 三角形AMN的周长=2
2.延长BD至F,使DF=BD,连接CF
因为 CD=DA,DF=BD,角CDF=角ADB
所以 三角形CDF全等于三角形ADB
所以 角DCF=角DAB,CF=AB
因为 正方形ABMN和BCPQ中 角CBQ=角ABM=90度
所以 角CBA+角QBM=360-90-90=180度
因为 角CBA+角BCA+角DAB=180度
所以 角QBM=角BCA+角DAB
因为 角DCF=角DAB
所以 角QBM=角BCA+角DCF=角BCF
因为 正方形ABMN和BCPQ中 BQ=BC,BM=AB；且CF=AB
所以 BQ=BC,BM=CF
因为 角QBM=角BCF
所以 三角形QBM全等于三角形BCF
所以 角BQE=角CBD
因为 角CBQ=90度
所以 角CBD+角QBE=180-90=90度
因为 角BQE=角CBD
所以 角BQE+角QBE=90度
所以 角BEQ=90度
所以 直线BD垂直于MQ